一个有趣的概率问题

deerlajilao

前几天在论坛上提了一个数学问题，感受到了大家对数学的“满满热情”，故今天再在这里提一个颇具争议的概率学问题Month Hall problem，一般也称之为三门问题。

假设你正在参加一个游戏节目，你被要求在三扇门中选择一扇：其中一扇后面有一辆车；其余两扇后面则是山羊。你选择了一道门，假设是一号门，然后知道门后面有什么的主持人，开启了另一扇后面有山羊的门，假设是三号门。他然后问你：“你想选择二号门吗？”变换你的选择对你来说是一种优势吗？

严格来说这个问题的描述并不算是严谨，这也是这个问题的答案在很多人眼中颇具争议的原因，实际上从一个数学问题的角度这个问题的条件是不够的，因此我们加上以下的限制条件

1.参赛者在三扇门中挑选一扇。他并不知道内里有什么。
2.主持人知道每扇门后面有什么。
3.主持人必须开启剩下的其中一扇门，并且必须提供换门的机会。
4.主持人永远都会挑一扇有山羊的门。
5.如果参赛者挑了一扇有山羊的门，主持人必须挑另一扇有山羊的门。
6.如果参赛者挑了一扇有汽车的门，主持人随机（概率均匀分布）在另外两扇门中挑一扇有山羊的门。
7.参赛者会被问是否保持他的原来选择，还是转而选择剩下的那一道门。

好了，现在这个问题的描述已经完全足够了，那么你会选择换一扇门吗，或者进一步的，你能分别算出一号门和二号门后面有车的概率吗？

实际上在充分地补充了问题的条件以后，这个问题已经化为了一个有点无聊的计算条件概率的习题了，单纯的套用贝叶斯定理就可以得到问题的答案，所以我在这里提出以上问题的一个变体，这个变体能更直接的用数学直觉得到答案：

假设你正在参加一个游戏节目，你被要求在三扇门中选择一扇：其中一扇后面有一辆车；其余两扇后面则是山羊。你选择了一道门并且闭上了眼睛，然后知道门后面有什么的主持人，开启了另一扇后面有山羊的门他然后问你：“你想换成我没开的那扇门吗吗？”变换你的选择对你来说是一种优势吗？值得注意的是在这里你并不知道主持人开了哪扇门。

这里我们仍然有一些限制条件：

1.参赛者在三扇门中挑选一扇。他并不知道内里有什么。
2.主持人知道每扇门后面有什么。
3.主持人必须开启剩下的其中一扇门，并且必须提供换门的机会。
4.主持人永远都会挑一扇有山羊的门。
5.如果参赛者挑了一扇有山羊的门，主持人必须挑另一扇有山羊的门。
6.如果参赛者挑了一扇有汽车的门，主持人在另外两扇门中挑一扇有山羊的门，注意这里不在要求概率均匀分布。
7.参赛者将不会知道主持人的选择。
8.参赛者会被问是否保持他的原来选择，还是转而选择剩下的那一道门。

答案：

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荒牧

概率差不多忘光了hhhhh，不过好像古典概率也能算：如果“我”三选一的概率是均等的话，换门得车的概率是2/3吧

Carl·D·en

确实锻炼思维能力

霜月.索隆

看不懂但大为震撼系列

WAZ000

脑子冒烟了

徐盛

哈哈，还有这样的啊

Luffy_5610

看着有点头大

夜蓝色

高中数学看着头疼

武毅公ノ戚继光

在信息差下，这个问题是会出现歧义的。
“主持人只有在确认选错的情况下才会问要不要换门”，那么概率就提高到了1/2。
“主持人不管任何时候都会问要不要换门”，则概率还是1/3。
“参赛者选中错误答案，主持人会开启正确的门然后询问换门”，那么概率就成了100%。
因为此时的主持人只能当成一个条件，而条件一旦不一样，结果就会不一样。
但不管是什么说法，换都不会有更低的概率。只是中与不中对结果而言只有0和1罢了。

1835248

太久没学数学了，看着有点头疼